HOMOTECIA

Las homotecias transforman una figura plana en otra figura de igual forma, pero de menor o mayor tamaño, según el valor de la razón, k. Si k es positivo la homotecia es directa, y si no, es inversa.

En una homotecia de centro el punto O y razón k:

• Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que la homotecia es directa.
• Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que la homotecia es inversa.

A la figura ABCD le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k > 0; homotecia directa.

A la figura ABC le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k < 0; homotecia inversa.

Al establecer una razón nos quedaría de la siguiente manera, r= (distancia desde el centro al punto homologo) / ( distancia desde el centro al punto inicial.

El motivo es que la razón tiene que ser consecuente con su valor. Si el numerador (el número de arriba) es mayor que el denominador (el número de abajo) entonces la razón es mayor que uno, por lo que cualquier medida (generalmente los lados de los polígonos) al multiplicarlos por esa cantidad deben de ser mayores que los de la figura original; por lo tanto, las distancias desde el centro a los puntos homotéticos será mayor que los de la figura inicial. 

Por ejemplo, si se tuviese una razón de 3/2 el cociente será 1'5, por lo que todo (solo las medidas lineales) deben ser una vez y media mas grande que los de la figura inicial, para que eso ocurra la distancia desde el centro al punto inicial serán dos unidades y hasta el homotético tres unidades. Si se hiciese al revés la figura homotética saldría mas pequeña lo que no se correspondería con el valor de la razón.

TEOREMA DE PITÁGORAS

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).


Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

En todos los triángulos rectángulos nombramos cateto opuesto y adyacente a los lados mas pequeños e hipotenusa al lado de longitud mayor.

Tal vez el siguiente vídeo te ayude un poco más:

  

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.

Son ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos                                         homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama                         razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su                           razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su        razón de semejanza.

1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

4 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

5 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos              proporcionales.

6 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la             hipotenusa y un cateto.

TEOREMA DE TALES

Existe un teorema en relación a la geometría clásica que recibe el nombre de Teorema de Tales, atribuido al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
Explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).




Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

                                     

                                                                EJEMPLO
Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.


    

El teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los deltriángulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Teorema de tales

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