ECUACIONES

Ecuaciones

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¿Qué es una ecuación?

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Ecuación: es una igualdad que tiene una o varias incógnitas, a su vez estas aceptan un valor o un grupo de valores.

PRIMER MIEMBRO >>>4 + 3x =  x - 8 <<< SEGUNDO MIEMBRO 

SIGNO IGUAL

 Ejemplo:

La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X² - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto del numero 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

CLASIFICACIÓN

La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:

1.- Completa: Tiene la forma:

donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.

2.- Incompleta pura: Es de la forma:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas.

3.-Incompleta mixta: Es de la forma:

donde los valores de a y de b son distintos al numero cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN 

ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA: 

• FACTORIZACIÓN

         X² + X = 552   >>>>> ECUACIÓN 

        X² + X - 552= 0  >>>>>> La pasamos  a su forma general

 ( x + 24)   ( x - 23) = 0   >>>>>>>   Factorizamos    

El primer término en ambos paréntesis corresponde a la raíz cuadrada del   término cuadrático en la ecuación original  (x   ) ( x    ), los segundos términos van a ser dos numeros que al sumar o restar nos den el coeficiente del termino lineal, en la ecuación original, y que a su vez al multiplicarlos nos den como resultado el término independiente ( +24) ( -23)

(x + 24)= 0  (x - 23 )= 0   >>>>>>> Se obtienen dos ecuaciones lineales.

Ambos factores ubicados en el primer miembro de la ecuación se igualan a cero

 Se despeja a la incógnita en ambas ecuaciones, efectuando operaciones inversas.

x + 24 = 0              x - 23 = 0

x= 0 - 24                x = 0 + 23

x₁= -24                  x₂= 23          se obtienen dos soluciones, es decir dos valores para x, uno + y otro -.

ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS

PURAS                                    

• DESPEJE

Dada la ecuación solo se despeja, es decir, se deja sola a la incógnita, efectuando operaciones inversas (contrarias).

Por ejemplo:     9x²= 64

1.- Se pasa a su forma general.      9x² - 64 = 0

Nota: este paso solo es para identificar a que tipo de ecuación cuadrática corresponde.

2.- Se deja sola a la incógnita (despeja). 

      x²= 64/9    >>>>>>   Como la división no da un numero exacto se deja indicada la operación.

       x² = √64/ 9      >>>>> y se saca raíz cuadrada por separado...

       x₁= +8/3                 x₂= -8/3                           

     

• FACTORIZACIÓN

Dada la ecuación se factoriza...  X²- 49= 0

Observa que en este caso es una DIFERENCIA DE CUADRADOS por lo que la factorización resulta:

                 (x +7 ) (x - 7) = 0 

Se obtienen dos ecuaciones lineales: 

            (x +7 ) = 0        (x - 7) = 0 

Se procede a despejar ambas ecuaciones lineales:

           .   x₁= +7                  x₂= -7   

MIXTAS

• FACTORIZACIÓN

Para factorizar una ecuación mixta es necesario obtener primero el monomio factor común (MFC), es decir, el máximo común divisor. Que consiste en tomar una vez los factores comunes con su exponente menor. Por ejemplo:  20 a² + 15 a = 0

                                    5a (4a + 3 )= 0          

20, 15	5
4 ,  3

               Donde: 5a es el MFC, posteriormente para obtener los términos que están dentro del paréntesis se dividen los términos de la ecuación original entre el MFC.

                                      20 a² / 5a = 4a        y          15 a / 5a= 3a

EJERCICIO:  9x² + 3x= 0 

1.- Se factoriza por monomio factor común.

                  3x ( 3x + 1) = 0

2.- Se igualan a cero ambas expresiones lineales.

          3x = 0                3x + 1 = 0

3.- se procede a despejar la incógnita.

       x = 0 / -3                 3x = -1

       x = 0                          x = -1/3
         .   x₁= 0                  x₂= -1/3   

De esta forma se obtienen dos soluciones y en este caso una de ellas es 0.

Métodos estándar

Estos métodos de solución se pueden aplicar a cualquier caso de ecuación cuadratica ya sea completa o incompleta.

• GRÁFICO

Al igual que en los casos anteriores, este método consiste en dar valores a x, sustituirlos en la ecuación original y efectuar operaciones, para obtener el valor de "y", se tabulan, para así poder gráficar en un plano cartesiano y encontrar los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación, ubicados sobre el eje de las "x". Al graficar obtenemos una parábola que marca las soluciones sobre el eje de las abscisas, comoo en el siguiente ejemplo.

 Este gráfico indica que las soluciones de la ecuación seran 2 y -2.

• FORMULA GENERAL

 Dada la formula ya establecida solo resta sustituir los valores de a, b y c, para efectuar operaciones, las soluciones serán dos una positiva y otra negativa, como en toda ecuación cuadratica.           

      

CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

.Círculo es la  superficie plana limitada por una circunferencia.

Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

NOTA: Recuerda si te es mas fácil el CÍRCULO es el área y la CIRCUNFERENCIA el perímetro.

PUNTOS, CURVAS,  SEGMENTOS Y RECTAS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA

Puntos

 

Centro del círculo y a su vez de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.

 Segmentos

Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro y parte el círculo definido por ésta en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la circunferencia.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

 Rectas característicasRecta secante: es la recta que corta al círculo en dos partes.
Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
Recta exterior: es aquella recta que no toca ningún punto del círculo o la circunferencia

 Curvas

Arco: es el segmento curvilíneo, o mejor dicho es parte de la circunferencia delimitada por dos puntos de ella.

Presentación1

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¿QUE HAY DE LOS PARALELOGRAMOS?

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero cuyos lados son paralelos dos a dos.
                                        
                                              
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales

                       

"PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS"

Para que un cuadrilatero pueda ser tambien un paralelogramo es necesario que cumpla con ciertas caracteristicas, a las cuales llamaremos propiedades:

• 1ra. Propiedad.- En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios.

• 2da. Propiedad.- En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.

• 3ra. Propiedad.- En todo paralelogramo las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

Presentación poligonos

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Diagonales

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Criterios de congruencia de triángulos

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’